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Truco para calcular un valor propio  


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Me dan la matriz

A=( 1 -1 0

-1 2 -1

0 -1 1)

Se puede ver que la segunda fila menos la primera da menos la tercera. Mi complementario insiste en que eso me permite adivinar uno de los valores propios, pero no tengo idea de cómo. Gracias por la ayuda.

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Un valor propio será cero, puesto que, como la tercera fila es combinación lineal de 1 y 2, si se redujera con GAUSS una fila quedaría 0 0 0, pero, al estar -λ sobre la diagonal, esta fila quedará λ λ λ. Finalmente, al hallar el determinante e igualarlo a 0, será posible factorizar este λ, quedando 0 como valor propio.

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Se puede ver que la primera fila menos la segunda da menos la tercera. Por lo tanto vamos a tener una nulidad igual a 1 y entonces podemos decir que la matriz no es invertible. El rango de la matriz seria 2.

Sabemos que para un vector unitario, se cumple:

  • Av=0v

Entonces miramos cuantos vectores cumplen con la condición y si hay por lo menos 1, un valor propio es igual a 0.

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En este caso el valor propio que se puede deducir facilmente es cero, ya que al reducir la matriz dada quedaria una fila en donde todas las entradas son cero. Así, se ve que el uno de los valores que permite factorizar  λ es cero. Aun asi, no es el unico valor propio para esta matriz. 

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